国考行测早备考:容斥问题之三者容斥

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国考行测早备考:容斥问题之三者容斥

2022-05-26 15:56:07| 来源:陕西中公教育

纵观近几年的行测考试,数量关系题目的考点分布开始逐渐集中在计算、利润、行程、工程、极值和几何这几大类问题上,但是除了这些常考题目之外,还是会有一些简单的、容易拿分的题目考核,容斥问题就是其中之一。容斥问题,研究的是集合之间交叉关系的一类问题。通常,我们会把它分成三个考点研究,分别是二者容斥、三者容斥和容斥极值,其中三者容斥最为常考,同时它也是相对较难理解的一类问题。

那么什么是三者容斥呢?它又难在哪里呢?

三者容斥就是研究三个集合间交叉关系的一类问题,如图所示:

图中A、B、C分别表示三个集合,而M表示不属于三个集合的部分。此时我们不难发现,全集I就是由A、B、C以及M四个集合加和构成的,只是在加和的过程中,会被重复计算,因此需要将多算的这些减掉,在这过程中,被连续减掉了三次,需要再把它加回来,由此可得三者容斥的核心公式公式看起来比较麻烦,但在实际应用中只需要直接代数即可。

例1

某单位员工中有45人订阅A刊,有49人订阅B刊,有58人订阅C刊,有16人订阅了A刊和B刊,有23人订阅了B刊和C刊,有21人订阅了A刊和C刊。有10人同时订阅了这三种刊物。该单位至少订阅一种刊物的人数是:

【中公解析】这道题目的题干特征最为明显,直接告诉了我们三个集合的具体数据,以及的具体数字,然而我们求解的是“至少订阅了一种刊物”的人数,那么什么叫做至少订阅一种刊物呢?也就是说订阅一种、两种或三种刊物都可以,也就是订了就行,换言之,这道题目需要求解的其实就是全集I的大小,已知三个集合和集合交集,直接代入公式因为题目当中未表明有人没有订阅,因此未订阅的人数M就为0,故直接代入解得I=102,故本题选择C。

除了上述公式外,三者容斥还存在第二种类型,它不具备如此明显的集合间交集的数据,它的表述通常为“同时属于两者的”、“三者都满足的”等方式,此时题目当中找不到有关于两两交集的数据,只能找到同时属于两个集合的数据的总和,因此就要求我们对于全集I重新划分,如图所示:

其中1,2,3这三个部分只属于一个集合,我们就说他们分别只具备一种属性,用a来表示,4,5,6这三个部分同时属于两个集合,也就是分别具备两种属性,用b来表示,7这部分同时属于三个集合,即同时具备三种属性,用c来表示,而不属于任何一个集合的8则不具备任何属性,我们用d来表示。通过重新划分,我们发现,全集还可以由只具备一种属性的数据、同时具备两种属性的数据、具有三种属性的数据以及不具备任何属性的数据之和共同构成,所以又可以写成而集合A、B、C的加和又可以表述为两式联立就得到:。通常这类题目的呈现方式如下:

例2

某研究中心就消费者对红、黄、蓝三种颜色的偏好情况进行市场调查,共抽取了40名消费者,发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色,至少喜欢两种颜色的有19人,喜欢三种颜色的有3人,问三种颜色都不喜欢的有几人?

【中公解析】这道题目中,我们虽然能够明显看出它也是三者容斥问题,但是题目当中却找不到两两之间的交集描述,而是给到了“至少喜欢两种颜色”以及“喜欢三种颜色”这两种描述,也就是说这只能表示同时属于两个集合和三个集合的数据数量,具体是哪两个集合,不得而知,因此只能利用属性间关系求解,这时考虑利用解题。通过分析发现“至少两种”包含了“两种”以及“三种”两个概念,也就是具有两种和三种属性,对应公式中的直接代入公式解得d=7,因此这道题选择D。

通过以上两道题目,我们不难发现,容斥问题本身难度并不是很大,只要找到题目中数据描述的特点,对应正确的公式,就会很容易解决。因此,在考试当中,如果遇见容斥问题,大家一定要牢牢把握住不要失分哦。

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(责任编辑:小伍)

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